?

Log in

No account? Create an account
Previous Entry Share Next Entry
Кризис математических основ
v2
mkevac
С помощью akopyan выяснилось что парадокс из прошлого поста не конец. Дальше пошло еще веселее.

Вообще, я оказался прав, и данная тематика относится к метаматематике. Попытке формализовать математику математическими же терминами.

В статье про метаматематику я и нашел полный ответ на свой вопрос, а также ссылку на статью про кризис математических основ.

Я осмыслил и перевёл данный кусок, а также создал соответствующую статью в русской википедии. Выкладываю ее содержание дальше.

Буду благодарен за исправления и викификацию.


Кризис математических основ - термин, обозначающий поиск фундаментальных основ математики в начале 20-го века. В 20-м веке, одна за другой, школы математических основ, столкнулись с проблемами. После этого предположение что у математики вообще есть какие-то основы, которые возможно выразить математическим же языком, подверглось серьезным проверкам.

Все поптыки предоставить несокрушимые основы математики сталкивались с парадоксами (такими, как Парадокс Рассела) и с проблемами собственной корректности: ситуация, когда любое математическое утверждение в предлагаемой системе (такое как 2 + 2 = 5) может быть доказано в этой системе.

Разные школы с различными подходами яростно противостояли друг другу. Лидирующей школой являлась формалистская, самым ярким последователем которой был Давид Гильберт. Свои идеи он собрал в т.н. Гильбертовой программе, в которой предполагалось обосновать математику на небольшом логическом базисе, содержащемся в учении финитизме.

Основным противником данной школы была школа интуитиционистов, возглавляемая Брювером. Брювер безбоязненно отвергал формализм как бесмыссленную игру с символами. Битва была злобной. В 1920 году Гильберд добился исключения Гильберта, которого он считал угрозой математике, из группы редакторов Mathematische Annalen, главного математического журнала того времени.

Теоремы Гёделя о неполноте, доказанные в 1931 году, показали что ключевые аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты.

Гёдель показал как сконструировать для любой достаточно сильной и консистентной, рекурсивно аксиоматизируемой системы (такой, которая необходима, чтобы аксиоматизировать элементарную теорию арифметики на (бесконечном) множестве натуральных чисел), утверждение, для которого может быть показана его правдивость, но не доказуемое системой.
Таким образом, стало ясно, что математические основы не могут быть сведены к чисто формальной системе, как предполагалось в Гильбертовой программе.

Далее Гёдель показал, что такая система не достаточно сильна, чтобы доказать свою собственную корректность, не говоря уже о более простых. Был нанесен последний сокрушительный удар в сердце Гильбертовой программы, программы, которая предполагала, что корректность может быть установлена финитическими средствами.

В то же время, интуиционическая школа не привлекла к себе каких-либо постоянных последователей среди активных математиков из-за проблем в конструктивной математике.
Кризис все еще не пройден, но он затух: большинство математиков или не работают с уровня аксиоматических систем или, если работают, то не сомневаются в корректности системы ZFC, наиболее популярной аксиоматической системы. В большинстве разделов практической математики математические парадоксы и так не играли никакой роли, а в тех разделах, где они играли (таких как логика или теория категорий), их можно обойти.

Tags:

  • 1

Re: большинство математиков или не работают с уровня ак

Кстат о Гёделе, вот вам про Успенского в достаточно реальных условиях, с реакцией зала:
http://mpd.livejournal.com/19598.html

Re: большинство математиков или не работают с уровня ак

Спасибо

(Deleted comment)
Спасибо за правки :-)

  • 1